Question

【题目】已知，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB=EF=6，如图1，D是斜边AB的中点，将等腰Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE，AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N．

（1）如图1，当α=60°时，求证：DM=BN；

（2）在上述旋转过程中，的值是一个定值吗？请在图2中画出图形并加以证明；

（3）如图3，在上述旋转过程中，当点C落在斜边EF上时，求两个三角形重合部分四边形CMDN的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），是一个定值；（3）

【解析】

（1）利用ASA证，从而得出；

（2）如下图，先证，得出，然后在，利用tan∠B得出的值，最后得出的值；

（3）如下图，先证点C是EF的中点，然后利用平分可推导出四边形为正方形，从而得出，进而得出面积．

解：（1）由题意，∵，，∴，

∴，，

∵点是斜边的中点，∴，

∴，∴．

（2），是一个定值．

证明：如图1，作于点，于点，∴，

又∵，∴，

∴，∴，

在中，，∴tan∠B

又由（1）可知：，

∴，

∴．

（3）连接，作于点，于点，

在中，点是的中点，∴，

∵，∴，∵，∴是中点，

∴平分，，

∵，，∴，

∵，

∴四边形为正方形，，

∴，∴，

∴四边形正方形．