Question

10．若直角三角形的三边分别为a、a+b、a+2b，则$\frac{a}{b}$的值为3或-5．

Answer 1

分析 分b＞0，根据已知条件判断a+2b是斜边，根据勾股定理得到a²+（a+b）²=（a+2b）²，整理得到a²-2ab-3b²=0，然后因式分解得出（a-3b）（a+b）=0，求出a-3b=0，进而求解即可；或b＜0，根据已知条件判断a是斜边，根据勾股定理得到（a+b）²+（a+2b）²=a²，整理得到a²+6ab+5b²=0，然后因式分解得出（a+5b）（a+b）=0，求出a+5b=0，进而求解即可．

解答 解：当b＞0时，
∵一个直角三角形的三边为a，a+b，a+2b，且a＞0，b＞0，
∴a+2b＞a+b＞a，
根据勾股定理得a²+（a+b）²=（a+2b）²，
整理得，a²-2ab-3b²=0，
（a-3b）（a+b）=0，
∵a+b≠0，
∴a-3b=0，
∴$\frac{a}{b}$=3．
当b＜0时，
∵一个直角三角形的三边为a，a+b，a+2b，且a＞0，b＜0，
∴a+2b＜a+b＜a，
根据勾股定理得（a+b）²+（a+2b）²=a²，
整理得a²+6ab+5b²=0，
（a+5b）（a+b）=0，
∵a+b≠0，
∴a+5b=0，
∴$\frac{a}{b}$=-5．
故答案为3或-5．

点评 此题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了因式分解，注意分类思想的运用．