Question

在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为（2,0）,（3,）,（1,）,点D、E的坐标分别为（m,m）,（n,n）(m、n为非负数),则CE+DE+DB的最小值是       ．

Answer 1

4

试题分析：连接AC,作B关于直线OC的对称点E′,连接AE′,交OC于D,交OB于E,此时CE+DE+BD的值最小．

∵点D、E的坐标分别为（m, m）,（n,n）(m、n为非负数)
∴点D在直线OC上,点E在直线OB 上.
∵点A、B、C的坐标分别为（2,0）,（3,）,（1,）,
∴四边形OCBA是菱形,
∴AC⊥OB,AO=OC,
即A和C关于OB对称,
∴CE=AE,
∴DE+CE=DE+AE=AD,
∵B和E′关于OC对称,
∴DE′=DB,
∴CE+DE+DB=AD+DE′=AE′,
过C作CN⊥OA于N,
∵C（1,）,
∴ON=1,CN=,
由勾股定理得：OC=2
即AB=BC=OA=OC=2,
∴∠CON=60°,
∴∠CBA=∠COA=60°,
∵四边形COAB是菱形,
∴BC∥OA,
∴∠DCB=∠COA=60°,
∵B和E′关于OC对称,
∴∠BFC=90°,
∴∠E′BC=90°﹣60°=30°,
∴∠E′BA=60°+30°=90°,CF= BC=1,
由勾股定理得：BF==E′F,
在Rt△EBA中,由勾股定理得：AE′=4,
即CE+DE+DB的最小值是4．
故答案是：4．