Question

【题目】如图，在中，．于．为边上的一个（不与、重合）点，且于相交于点．

（1）填空：______；______．

（2）当时，证明：．

（3）面积的最小值是_______．

（4）当的内心在的外部时，直接写出的范围______．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）．

【解析】

（1）根据锐角三角函数的定义以及三角形内角和定理，即可求解；

（2）由ASA，即可证明；

（3）由题意得：面积=AE2，当AE⊥BC时，AE=，进而即可求解；

（4）当的内心恰好落在AC上时，设的内心为N，易证是等边三角形，此时，AE=2，进而即可得到结论．

（1）∵在中，，

∴，

∵，，

∴180°-90°-60°=30°．

故答案是：；

（2）于，

，

又∵，

，

，

，

又∵，

；

（3）∵=60°，

∴EF=AE，

∴面积= EFAE=AE2，

∴当AE的长最小时，面积的最小，即：AE⊥BC时，面积的最小．

∴AE的最小值=ABsin60°=2×=，此时，面积的最小值=．

故答案是：．

（4）当的内心恰好落在AC上时，设的内心为N，连接EN，

∵N是的内心，

∴AN平分∠EAF，EN平分∠AEF，

∴∠EAC=∠EAF=30°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=90°-30°=60°，

又∵∠B=60°，

∴是等边三角形，

∴AE=AB=2，

∵为边上的一个（不与、重合）点，由（1）可知，

∴当的内心在的外部时，．

故答案是：．