Question

8．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式$\frac{CE}{BC}$=$\frac{BE}{AC}$，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．

解答 解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°，
∠BEC=180°-∠EBC-∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC．
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4-x．
在△BCE与△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠BAC=36°}\\{∠C=∠ABC=72°}\end{array}\right.$，
∴△BCE∽△ABC，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{BE}{AC}$，即$\frac{4-x}{x}$=$\frac{x}{4}$，
解得x=-2±2$\sqrt{5}$（负值舍去），
∴AE=-2+2$\sqrt{5}$．
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{2}{-2+2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$．
故选C．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．