Question

18．如图，△ABC中，分别以AB、AC为边向三角形外作△ABD和△ACE，使AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，AH⊥BC，H为垂足，点F在HA的延长线上，且AF=BC，求证：四边形AEFD是平行四边形．

Answer 1

分析 首先证明△DAF≌△ABC，推出∠ADF=∠BAC，DF=AC=AE，由∠BAD=∠EAC=90°，推出∠BAC+∠DAE=180°，∠ADF+∠DAE=180°，推出DF∥AE，由此即可证明．

解答 证明：∵∠BAD=90°，AH⊥BC，
∴∠DAF+∠BAH=90°，∠BAH+∠ABC=90°，
∴∠DAF=∠ABC，
在△DAF和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BC}\\{∠DAF=∠ABC}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△ABC，
∴∠ADF=∠BAC，DF=AC=AE，
∵∠BAD=∠EAC=90°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠ADF+∠DAE=180°，
∴DF∥AE，
∵DF=AE，
∴四边形ADFE是平行四边形．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．