Question

14．如图所示，在?ABCD中，BC=2AB，点M是AD的中点，CE⊥AB于E，
（1）求证：M在EC的中垂线上；
（2）如果∠AEM=50°，求∠B的度数．

Answer 1

分析 （1）连结并延长CM，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAM≌△CDM，所以NM=CM，NA=CD，问题得证；
（2）由（1）再结合已知条件CE⊥AB于E，∠AEM=50°，即可求出∠B的度数．

解答 解：（1）连结并延长CM，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠NAM=∠D，
∵点M是的AD中点，
∴AM=DM
在△NAM和△CDM中
∵$\left\{\begin{array}{l}∠NMA=∠D\\ AM=DM\\∠AMN=∠DMC\end{array}\right.$
∴△NAM≌△CDM，
∴NM=CM，
∵CE⊥AB于E，即∠NEC=90°
∴EM=$\frac{1}{2}$NC=MC，
∴M在EC的中垂线上，
（2）由（1）可得NA=CD，
∵AB=CD，
∴NA=AB，即BN=2AB，
∵BC=2AB，
∴BC=BN，∠N=∠NCB，
∴∠N=∠NEM=50°=∠NCB，
∴∠B=80°．

点评 本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．