Question

【题目】如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，BC的垂直平分线分别交AB、BE于点D、G，垂足为H，CD⊥AB，CD交BE于点F

（1）求证：△BDF≌△CDA，并写出BF与AC的数量关系．

（2）若DF＝DG，求证：①BE平分∠ABC； ②CE＝BF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，BF=AC；（2）①见解析；②见解析

【解析】

（1）由垂直平分线的性质可得BD=CD，由“AAS”可证△BDF≌△CDA，由全等三角形的性质可得BF=AC；
（2）①由等腰三角形的性质和对顶角的性质可得∠DGF=∠DFG=∠BGH，由等角的余角相等可得∠DBF=∠FBC，即BE平分∠ABC；
②由△BDF≌△CDA可得BF=AC，由题意可证△ABE≌△CBE，可得AE=EC=AC，即CE＝BF．

证明：（1）∵DH垂直平分BC，

∴BD＝CD，

∵BE⊥AC， CD⊥AB，

∴∠A+∠DBF＝90°，∠DBF+∠DFB＝90°，∠ADC＝∠FDB＝90°，

∴∠A＝∠DFB，且∠ADC＝∠FDB，BD＝CD，

∴△BDF≌△CDA（AAS），

∴BF=AC；

（2）①∵DF＝DG，

∴∠DGF＝∠DFG，

∵∠BGH＝∠DGF，

∴∠DGF＝∠DFG＝∠BGH，

∵∠DBF+∠DFB＝90°，∠FBC+∠BGH＝90°，

∴∠DBF＝∠FBC，

∴BE平分∠ABC ；

②∵△ADC≌△FDB，

∴BF＝AC，

∵∠DBF＝∠FBC，BE＝BE，∠AEB＝∠BEC＝90°，

∴△ABE≌△CBE（ASA）

∴AE＝CE，

∴AE=EC=AC，

∴CE＝BF．