Question

3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF，若AE=4，FC=3，求EF的长．

Answer 1

分析 连接BD，根据的等腰直角三角形的性质证明△BED≌△CFD就可以得出AE=BF、BE=CF，由AE=BF，FC=BE就可以求得EF的长．

解答 解：连接BD．

∵D是AC中点，
∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC
∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠EDB=∠CDF，
在△BED和△CFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠C}\\{BD=CD}\\{∠EDB=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE=CF；
∵AB=BC，BE=CF=3，
∴AE=BF=4，
在Rt△BEF中，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=5．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理的运用，本题中连接BD证得△BED≌△CFD是解题的关键．