Question

7．己知点（$\frac{6}{p}$，$\frac{p}{2}$）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，A，B为该函数图象上两点，联结AB并延长交y轴于C，过A作AD垂直y轴于D，已知AB=CB，且点B的横坐标为m．
（1）求点C的纵坐标（用含m的代数式表示）；
（2）联结BD，若∠ADB=45°，求m．

Answer 1

分析 （1）作BE⊥y轴于E，根据反比例函数图象上点的特征求出k的值，根据题意求出A、B的坐标，运用待定系数法求出直线AB的解析式，得到点C的纵坐标；
（2）作BF⊥DA于F，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）作BE⊥y轴于E，
∵点（$\frac{6}{p}$，$\frac{p}{2}$）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=$\frac{6}{p}$×$\frac{p}{2}$=3，
∵BE∥AD，AB=CB，
∴AD=2BE，点B的横坐标为m．
∴点D的横坐标为2m，
则点B的纵坐标为$\frac{3}{m}$，点A的纵坐标为$\frac{3}{2m}$．
∴点B的坐标为（m，$\frac{3}{m}$），点A的坐标为（2m，$\frac{3}{2m}$），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=\frac{3}{m}}\\{2mk+b=\frac{3}{2m}}\end{array}\right.$，
解得，k=-$\frac{3}{2m}$，b=$\frac{9}{2m}$，
∴点C的纵坐标为$\frac{9}{2m}$；
（2）作BF⊥DA于F，
∵∠ADB=45°，BF⊥DA，
∴DF=BF，
即$\frac{3}{m}$-$\frac{3}{2m}$=m，
解得，m₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，m₂=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$（舍去），
∴m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数的性质、坐标与图形的关系，待定系数法求一次函数解析式以及三角形中位线定理，灵活运用相关的性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．