Question

（2012•密云县一模）如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，对角线AC⊥CB，若AD=2，AC=2

5

，cosB=

3

5

．试求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析：在Rt△ADC中，利用勾股定理求得DC=4；在Rt△ACB中，利用余弦三角函数的定义求得BC：AB=5：3，由此设BC=3x，AB=5x，所以根据勾股定理列出关于x的方程，通过解方程即可求得x的值，即BC、AB的值；最后根据四边形的周长公式来求四边形ABCD的周长．

解答：解：在四边形ABCD中，
∵AD⊥DC，对角线AC⊥CB，
∴∠ACB=∠D=90°．
∴△ADC和△ACB都是直角三角形．
在Rt△ADC中，∵AD=2，AC=2

5

，
∴由勾股定理，得
DC=4．
在Rt△ACB中，∵

BC

AB

=cosB=

3

5

，
∴设BC=3x，AB=5x．
∴由勾股定理 得AB²-BC²=AC²，即25x²-9x²=20．
解得x=

5

2

，或x=-

5

2

（不合题意，舍去），
∴BC=3x=

3 5

2

，AB=2x=

5

．
∴四边形ABCD周长为：AB+BC+CD+DA=

5

2

5

+6．

点评：本题综合考查了勾股定理的应用、解直角三角形．解答此题需要熟悉三角函数的定义．