Question

如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：压轴题,存在型

分析：（1）只要证到三个内角等于90°即可．
（2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S_矩形EFCG=2S_△CFE=

3CF2

4

．然后只需求出CF的范围就可求出S_矩形EFCG的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．

解答：解：（1）证明：如图1，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CFE=∠CGE=90°．
∵EG⊥EF，
∴∠FEG=90°．
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．
∴四边形EFCG是矩形．

（2）①存在．
连接OD，如图2①，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°．
∵点O是CE的中点，
∴OD=OC．
∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，
∴△CFE∽△DAB．
∴

S△CFE

S△DAB

=（

CF

DA

）²．
∵AD=4，AB=3，
∴BD=5，
S_△CFE=（

CF

4

）²•S_△DAB
=

CF2

16

×

1

2

×3×4
=

3CF2

8

．
∴S_矩形EFCG=2S_△CFE
=

3CF2

4

．
∵四边形EFCG是矩形，
∴FC∥EG．
∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，
∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，
∴∠GDC+∠CDB=90°．
∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′）处，如图2①所示．
此时，CF=CB=4．
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，
如图2②所示，
此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．
Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，
如图2③所示．
S_△BCD=

1

2

BC•CD=

1

2

BD•CF
∴4×3=5×CF
∴CF=

12

5

．
∴

12

5

≤CF≤4．
∵S_矩形EFCG=

3CF2

4

，
∴

3

4

×（

12

5

）²≤S_矩形EFCG≤

3

4

×4²．
∴

108

25

≤S_矩形EFCG≤12．
∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为

108

25

．

②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，如图2②所示，
∴点G的移动路线是线段DG″．
∵∠G″DC=∠BDA，∠DCG″=∠A=90°，
∴△DCG″∽△DAB．
∴

DC

DA

=

DG″

DB

．
∴

3

4

=

DG″

5

．
∴DG″=

15

4

．
∴点G移动路线的长为

15

4

．

点评：本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强．而发现∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解决本题的关键．