Question

3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若AF=3.5，AB=5，求CF的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，利用角平分线定义得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，所以OD∥AF，再利用切线的性质得OD⊥EF，于是利用平行线的性质可得到AF⊥EF；
（2）连接OC，OD交BC于H，如图，设CF=x，先判断四边形CFDH为矩形得到HD=CF=x，再证明OH为△ACB的中位线得到OH=$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{2}$-x），则利用OH=OD-DH=$\frac{5}{2}$-x得到$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{2}$-x）=$\frac{5}{2}$-x，然后解方程求出x即可．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥AF，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF；
（2）解：连接OC，OD交BC于H，如图，设CF=x，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
而AF⊥EF，OD⊥EF，
∴四边形CFDH为矩形，
∴HD=CF=x，
∵OH∥AC，OA=OB，
∴OH为△ACB的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AF-CF）=$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{2}$-x）
而OH=OD-DH=$\frac{5}{2}$-x，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{2}$-x）=$\frac{5}{2}$-x，解得x=$\frac{3}{2}$，
即CF的长为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．