Question

16．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=-（x+m）²+n的顶点M在线段AB上，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），与y轴交于点E．
（1）在点M从点A运动到点B，求点E的纵坐标的变化范围；
（2）当点C和原点O重合时，求此时抛物线解析式，并求出D点坐标．

Answer 1

分析 （1）当M与A重合，当M与B重合，求得抛物线的解析式即可得到结论；
（2）由当M与A重合，抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，得到此时C（-1，0），当点C和原点O重合时，求得抛物线y=-（x-1）²+4向右平移一个单位长度，求得平移后的解析式为y=-（x-1-1）²+4，于是得到结论．

解答 解：（1）当M与A重合，
则M（1，4），
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，
即抛物线的解析式为y=-x²+2x+3
当x=0时，y=3，
当M与B重合，
则M（4，4），
∴抛物线的解析式为y=-（x-4）²+4，
即抛物线的解析式为y=-x²+8x-12
当x=0时，y=-12，
∴在点M从点A运动到点B，点E的纵坐标的变化范围是：3到-12．
（2）∵当M与A重合，抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，
∴抛物线与x轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0），
∴此时C（-1，0），
当点C和原点O重合时，
抛物线y=-（x-1）²+4向右平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为y=-（x-1-1）²+4，
即y=-（x-2）²+4，
令y=0，则-（x-2）²+4=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴D（4，0）．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．