Question

16．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点EF分别是边BC、CD的点，且BE=CF=6．
（1）求证：AE=BF，AE⊥BF；
（2）求四边形ADFM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠CBF，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠CBF，求得AE⊥BF，根据三角形的面积公式得到AE•BM=AB•BE，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，得到BM=$\frac{24}{5}$，根据勾股定理得到AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF=90°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AE⊥BF，
∴AE•BM=AB•BE，
∵AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，
∴10BM=8×6，
∴BM=$\frac{24}{5}$，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
四边形ADFM的面积=梯形ABFD的面积-三角形ABM的面积
=$\frac{1}{2}$AD（DF+AB）-$\frac{1}{2}$AM•BM
=$\frac{1}{2}$×8×（2+8）-$\frac{1}{2}$×$\frac{32}{5}$×$\frac{24}{5}$
=$\frac{616}{25}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，梯形和三角形的面积公式，确定出AE与BF所在的三角形并证明三角形全等是解题的关键．