Question

11．如图，线段AB，AD交于点A．C为直线AD上一点（不与点A，D重合）．过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G（G与D不重合）．
（1）如图1，若点C在线段AD上，且∠BCA为钝角．
①按要求补全图形；
②判断∠B与∠CGD的数量关系，并证明．
（2）若点C在线段DA的延长线上，请直接写出∠B与∠CGD的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①依据过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G，画出图形即可；②根据平行线的性质即可得到∠1=∠B，再根据平行线的性质，即可得出∠2+∠HCG=180°，进而得出∠CGD-∠B=90°．
（2）过点C作CH∥AB，根据平行线的性质可得∠B=∠BCH，再根据平行线的性质即可得到∠CGD+∠HCG=180°，进而得出∠B+∠CGD=90°．

解答 解：（1）①补全图形如图：

②判断：∠CGD-∠B=90°．
证明：过点C作CH∥AB，
∴∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥DF（已知），
∴CH∥DF（平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠2+∠HCG=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CE⊥BC（已知），
∴∠1+∠HCG=90°（垂直的定义）．
∴∠CGD+（90°-∠B）=180°，
即∠CGD-∠B=90°． 

（2）∠CGD+∠B=90°．
理由：如图，过点C作CH∥AB，

∴∠B=∠BCH，
∵AB∥DF（已知），
∴CH∥DF（平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠CGD+∠HCG=180°，
又∵CE⊥CB，
∴∠BCG=90°，
∴∠BCH+90°+∠CGD=180°，
即∠B+∠CGD=90°．

点评 本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．