题目内容

如图，抛物线 $数学公式$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点O与点D关于直线AC对称，连接OD，CD，OD交AC于点E
（1）分别求出点A，B，C的坐标；
（2）若反比例函数 $数学公式$ 的图象过点D，求k的值；
（3）两动点M，N同时从点A出发，分别沿AO，AC的方向向点O，C移动，点M秒移动1个单位长度，点N每秒移动2个单位长度，设△MNO的面积为S，移动的时间为t，则S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点A、B均在x轴上，
令y=0，即 $\text{[math]}$ =0；
解得 x₁=-6，x₂=-1，
∴A（-6，0）、B（-1，0）．
令x=0，即y=2 $\text{[math]}$ ，
∴C（0，2 $\text{[math]}$ ）．
综上所述，A（-6，0）、B（-1，0）、C（0，2 $\text{[math]}$ ）．

（2）如图，∵由A（-6，0）、C（0，2 $\text{[math]}$ ）得：OA=6，OC=2 $\text{[math]}$ ，
∴cot∠OAC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠OAC=30°．
∵D与O点关于AC对称，
∴OD=OA=6，∠DOA=60°，
∴D（-3，3 $\text{[math]}$ ）．
∵反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象过点D，
∴3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴k=-9 $\text{[math]}$ ．

（3）存在，理由如下：
设AM=t（0＜t＜6），则AN=2t，易求AC=4 $\text{[math]}$ ．
当点N到达终点C时，t=2 $\text{[math]}$ ．
∵2 $\text{[math]}$ ＜6，
∴点M继续向右移动，
∴当2 $\text{[math]}$ ＜t＜6时，t越大，△MNO的面积越小．
当t=2 $\text{[math]}$ 时，S= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×（6-2 $\text{[math]}$ ）=6 $\text{[math]}$ -6．
当0＜t＜2 $\text{[math]}$ 时，S_△MNO= $\text{[math]}$ •（6-t）•t=-（t-3）²+ $\text{[math]}$ ，即当t=3时，S有最大值 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ＞6 $\text{[math]}$ -6，
∴当t=3时，S有最大值 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即C点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、B的坐标）．
（2）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、C的坐标，易判断出△OAC是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AC对称，可得出OD的长，结合∠DOA的度数，即可得到D点的坐标，由此得解．
（4）首先用t列出AM、AN的表达式，进而可得到N到x轴的距离，以OM为底、N到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．
点评：该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．