Question

观察下列各式：

1

6

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4

-

1

5

，

1

20

=

1

4

-

1

5

，
（1）由此可以推断

1

30

=

 

．
（2）请用上面的规律解方程：

1

(x-1)(x-2)

+

1

(x-2)(x-3)

+

1

(x-3)(x-4)

=

3

4

．

Answer 1

分析：（1）将30分解成为5×6，从而得出

1

30

=

1

5

-

1

6

，
（2）由上面的规律可得

1

(x-1)(x-2)

=

1

x-2

-

1

x-1

，

1

(x-2)(x-3)

=

1

x-3

-

1

x-2

，

1

(x-3)(x-4)

=

1

x-4

-

1

x-3

，再解方程即可

解答：解：（1）

1

30

=

1

5

-

1

6

；

（2）∵

1

(x-1)(x-2)

=

1

x-2

-

1

x-1

，

1

(x-2)(x-3)

=

1

x-3

-

1

x-2

，

1

(x-3)(x-4)

=

1

x-4

-

1

x-3

，
∴原方程可化为

1 x-4 - 1 x-1 = 3 4

，
方程两边乘以（x-1）（x-4），得
即x²-5x=0
x₁=5，x₂=0，
检验，把x=5代入（x-1）（x-4）=4≠0，
把x=0代入（x-1）（x-4）=4≠0，
∴x₁=5，x₂=0，都是方程的解．

点评：本题考查了分式方程的解法，在第（2）中将

1

(x-1)(x-2)

化为

1

x-2

-

1

x-1

是解题的关键．