Question

（1）观察下列各式：

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

…
由此可推断

1

42

=

1

6×7

=

1

6

-

1

7

．
（2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含字m的等式表示出来，并证明（m表示整数）
（3）请用（2）中的规律计算

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

．

Answer 1

分析：（1）观察一系列等式，得到一般性规律，化简即可得到结果；
（2）表示出得出的规律，证明即可；
（3）利用得出的规律化简原式，即可得到结果．

解答：解：（1）观察下列各式：由此可推断

1

42

=

1

6×7

=

1

6

-

1

7

；
故答案为：

1

6×7

=

1

6

-

1

7

；
（2）

1

m(m+1)

=

1

m

-

1

m+1

，
证明：

1

m

-

1

m+1

=

m+1-m

m(m+1)

=

1

m(m+1)

；
（3）原式=

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+4

=

1

x+1

-

1

x+4

=

x+4-x-1

(x+1)(x+4)

=

5

(x+1)(x+4)

．

点评：此题考查了分式的加减法，弄清题中的规律是解本题的关键．