Question

（1）观察下列各式：

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…由此可推导出

1

42

=

 

．
（2）请猜想出能表示（1）的特点的一般规律，用含字母m的等式表示出来（m表示整数）；
（3）请直接用（2）中的规律计算：

1

(x-2)(x-3)

-

2

(x-1)(x-3)

+

1

(x-1)(x-2)

的结果．

Answer 1

分析：（1）根据例子可以得到42可以分解成两个相邻的整数6和7的乘积，即可写出；
（2）分母是两个相邻的整数的积，因而是m（m+1），分子是1，根据（1）即可写出最后的结果；
（3）第一个和第二个分式符和（2）的特点，可以验证

2

(x-1)(x-3)

=

1

x-3

-

1

x-1

，代入即可得到结果．

解答：解：（1）

1

42

=

1

6×7

=

1

6

-

1

7

，
故答案是：

1

6

-

1

7

；
（2）

1

m(m+1)

=

1

m

-

1

m+1

；
（3）原式=

1

x-3

-

1

x-2

-2×

1

2

（

1

x-3

-

1

x-1

）+

1

x-2

-

1

x-1

=

1

x-3

-

1

x-2

-

1

x-3

+

1

x-1

+

1

x-2

-

1

x-1

=0．

点评：本题考查了分式的加减，关键是观察已知条件中的分式的特点，得到规律．