Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE=2，DE=1cm，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线；
（2）通过证明Rt△BAD∽Rt△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．

解答：（1）证明：连接OA．
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ODA．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA．
∵∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°．
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．

（2）解：在直角△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

5

cm．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠AED=90°，∠ADE=∠ADB，
∴Rt△BAD∽Rt△AED．
∴

DE

AD

=

AD

BD

．
∴BD=

AD2

DE

=

5

1

=5cm．

点评：主要考查学生对相似三角形的判定及性质的运用，及切线的求法等知识点的掌握情况．