题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.

(1) 求此二次函数解析式；
(2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值.
(1) (2) 点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2， ）
(3)8

试题分析：(1) ∵点A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0），

∴
解得
∴二次函数解析式为.
（2）可求点C的坐标为（1，）
∴点D的坐标为（1，）.
可求直线AD的解析式为 .
由题意可求直线BK的解析式为.
∵直线的解析式为,
∴可求出点K的坐标为(5,).易求 .
∴四边形ABKD是菱形.
∵菱形的中心到四边的距离相等，
∴点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2， ） . 
(3) ∵点D、B关于直线AK对称,
∴的最小值是.
过K作KF⊥x轴于F点. 过点K作直线AD的对称点P,连接KP,交直线AD于点Q,
∴KP⊥AD.
∵AK是∠DAB的角平分线,
∴.
∴的最小值是.即BP的长是的最小值.
∵BK∥AD,
∴.
在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.
∴的最小值为8.    
点评：本题难度较大，主要考查学生对二次函数性质的掌握，本题难度较高在图像分析较复杂，需要学生有扎实基础来理清思路。一般为压轴题型，基础较好的同学要多加训练，培养解题感觉。
练习册系列答案
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