Question

【题目】已知抛物线过点．

（1）若点也在该抛物线上，请用含的关系式表示；

（2）若该抛物线上任意不同两点、都满足：当时，；当时，；若以原点为圆心，为半径的圆与抛物线的另两个交点为、（点在点左侧），且有一个内角为，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点与点关于点对称，且、、三点共线，求证：平分．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）把点、代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．

（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为轴、开口向上，进而可得出，由抛物线的对称性可得出为等腰三角形，结合其有一个的内角可得出为等边三角形，设线段与轴交于点，根据等边三角形的性质可得出点的坐标，再利用待定系数法可求出值，此题得解；

（3）由（1）的结论可得出点的坐标为，、点的坐标为，，由、、三点共线可得出，进而可得出点及点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点在直线上，进而即可证出平分．

解：（1）把点、分别代入，得

．

所以．

（2），如图1，

当时，，

，，

当时，随的增大而减小；

同理：当时，随的增大而增大，

抛物线的对称轴为轴，开口向上，

．

为半径的圆与拋物线的另两个交点为、，

为等腰三角形，

又有一个内角为，

为等边三角形．

设线段与轴交于点，则，且，

又，

，．

不妨设点在轴右侧，则点的坐标为，．

点在抛物线上，且，，

，

，

抛物线的解析式为．

（3）证明：由（1）可知，点的坐标为，，点的坐标为，．

如图2，直线的解析式为．

、、三点共线，

，，且，

，

，

，即，

点的坐标为，．

设点关于轴的对称点为点，则点的坐标为，．

点是点关于点的对称点，

，

点的坐标为．

设直线的解析式为，

点的坐标为，，

，

，

直线的解析式为．

，

点在直线上，

平分．