Question

8．已知正方形OABC，BEFG，按照如图所示位置摆放在数轴上，点O、A、E表示的数分别为1、2、3，若以O为圆心，OF为半径作圆弧，则与数轴的交点表示的数为$\sqrt{10}+1$、-$\sqrt{10}+1$．

Answer 1

分析 过点F作FH⊥数轴于点H，连接OF，证明△ABE≌△HEF．所以AB=EH=1，FH=AE=1，所以OH=3，根据勾股定理$OF=\sqrt{O{H}^{2}+F{H}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}$，即可解答．

解答 解：如图，过点F作FH⊥数轴于点H，连接OF，

在Rt△BAE中，AB=1，AE=1，
∵OABC，BEFG为正方形，
∴∠BAE=∠BEF=90°，BE=FE，
∴∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠ABE=∠FEH，
在△ABE和△HEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FEH}\\{∠BAE=∠FHE}\\{BE=FE}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△HEF．
∴AB=EH=1，FH=AE=1，
∴OH=3，
∴$OF=\sqrt{O{H}^{2}+F{H}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}$，
若以O为圆心，OF为半径作圆弧，则与数轴的交点表示的数为1+$\sqrt{10}$、1-$\sqrt{10}$．

点评 考查了正方形的性质，勾股定理和实数与数轴，得出OF的长是解题的关键．