Question

如图，正三角形ABC的边长为3＋.

(1)如图1，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；

(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；

(3)如图2，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPN，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

Answer 1

 解：(1)如图①，正方形E′F′P′N′即为的所求．(4分)

图(1)

　　　　图(2)

(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x.

∵△ABC为正三角形，∴AE′＝BF′＝x.

∴x＋x＝3＋.∴x＝，即x＝3－3.(8分)

(没有分母有理化也对，x≈2.20也正确)

(3)如图(2)，连接NE，EP，PN，则∠NEP＝90°.

设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n)，它们的面积和为S，则NE＝m，PE＝n.

∴PN²＝NE²＋PE²＝2m²＋2n²＝2(m²＋n²)，

∴S＝m²＋n²＝PN².

延长PH交ND于点G，则PG⊥ND.

在Rt△PGN中，PN²＝PG²＋GN²＝(m＋n)²＋(m－n)².

∵m＋m＋n＋n＝＋3，

即m＋n＝3，∴S＝＋

①当(m－n)²＝0，即m＝n时，S最小，∴S_最小＝.

②当(m－n)²最大，即当m最大且n最小时，S最大

∵m＋n＝3，

由(2)知，m_最大＝3－3，

∴n_最小＝3－m_最大＝3－(3－3)＝6－3.(16分)

∴S_最大＝＋＝99－54.(S_最大≈5.47也正确)(18分)