Question

【题目】在平面直角坐标系中，点坐标为轴上点，将线段绕着点顺时针旋转得到，过点作直线轴于，过点作直线于．

（1）当点是的中点时，求直线的函数表达式．

（2）当时，求的面积．

（3）在直线上是否存在点，使得？若存在，试用的代数式表示点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，，，，

【解析】

（1）证明Rt△APO≌Rt△PED，得到EDPO，DO=OP+PD=OP+AO=3，求出点E(，)，P(，0)，将点代入解析式即可求解；

（2）由（1）的全等可得到PD=3，DE=5，所以S△APE3×53×3=3；

（3）假设在直线l上存在点G，使得∠APO=∠PFD+∠PGD，由旋转可知△APO≌△PED，得到AP=PE，AO=PD=3，PO=ED=t；由AODF是矩形，得到DF=AO=3=PD．

①当P点在x轴负半轴，G点在x轴下方时，△GPE∽△GFP，得到，进而GP2=GEGF，得到G(3+t，)；由对称性可得当P点在x轴负半轴，G点在x轴上方时G的坐标；

②当P在x轴正半轴，G点在x轴下方时，△PFG∽△EFP，则有，得到G(3+t，)；由对称性可得当P在x轴正半轴，G点在x轴上方时G的坐标．

（1）∵线段AP绕点P顺时针旋转90°得到PE，

∴AP=PE，∠APE=90°．

∵∠APO+∠EPD=∠APO+∠OAP=90°，

∴∠EPD=∠OAP．

∵∠EDP=∠POA=90°，

∴Rt△APO≌Rt△PED(AAS)

∴OP=ED，AO=PD．

∵OA=3，点E是DF的中点，

∴EDPO，

∴DO=OP+PD=OP+AO=3，

∴E(，)，P(，0)．

设直线PE的解析式为y=kx+b，

∴，

∴，

∴y；

（2）∵Rt△APO≌Rt△PED，

∴OP=ED，AO=PD．

∵OA=3，OP=5，

∴PD=3，DE=5，

∴S△FPE3×53×3=3；

（3）假设在直线l上存在点G，使得∠APO=∠PFD+∠PGD，

由旋转可知△APO≌△PED，

∴AP=PE，AO=PD=3，PO=ED=t，∠APO=∠PED；

∵∠AOD=∠ODF=∠AFD=90°，

∴四边形AODF是矩形，

∴DF=AO=3，

∴PD=DF=3．

①当P点在x轴负半轴，G点在x轴下方时．

∵∠APO=∠PFD+∠PGD，∠APO=∠PED，

∴∠PED=∠PFD+∠PGD．

∵∠PED=∠GPE+∠PGD，

∴∠GPE=∠PFD．

∵∠PGE=∠PGE，

∴△GPE∽△GFP，

∴，

∴GP2=GEGF．

设G(m，y)．

∵PD=3，

∴D(3+t，0)，

∴m=3+t，

∴GE=t-y，GF=3-y，

∴，解得：y=，

∴DG，

∴G(3+t，)；

由对称性可知：当P在x轴负半轴，G点在x轴上方时，G(3+t，)；

②当P在x轴正半轴，G点在x轴下方时．

∵∠APO=∠PFD+∠PGD，

∠PED=∠APO，

∴∠FPE=∠PGF，

∴△PFG∽△EFP，

∴，

∵△APO≌△PED，

∴OP=ED，AO=PD，

∴E(t+3，t)，P(t，0)，F(t+3，3)，

∴，

∴FG，

∴G(3+t，)；

由对称性可知：当P在x轴正半轴，G点在x轴上方时，G(3+t，)；

综上所述：G(3+t，)或G(3+t，)或G(3+t，)或G(3+t，)．