Question

【题目】如图，是的直径，，点是上方圆上的一个动点，连接，作的平分线，交于点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）当_______时，四边形是平行四边形；

（3）连接交于点，连接，当 _______时，与相似．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）2或．

【解析】

（1）易证∠PAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AP，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线；

（2）根据一组对边平行且相等证得四边形是平行四边形；

（3）当△CDP∽△AMO时，则∠CDP=∠AMO=90°，利用等腰三角形AOC的三线合一可得∠AOP=∠COP，进而可证得AP=AO=2，当△CDP∽△AOM时，则∠CDP=∠AOP=90°，利用勾股定理可求得AP的长即可．

（1）证明：如图，连接.

平分，

，

，

，

，

，

，

，

是的切线.

（2）当AP=2时，四边形是平行四边形，

理由如下：∵AP=2，OC=2，

∴AP=OC，

又∵AP∥OC，

∴四边形是平行四边形；

（3）如图，当△CDP∽△AMO时，则∠CDP=∠AMO=90°，

∴OP⊥AC，

又∵OA=OC，

∴∠AOP=∠COP，

∵AP∥OC，

∴∠APO=∠COP，

∴∠AOP=∠APO，

∴AP=AO=2，

当△CDP∽△AOM时，则∠CDP=∠AOP=90°，

∵AO=PO=2，

∴在Rt△AOP中，AP=，

∴AP=2或