Question

如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，

OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．

（1）若抛物线经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________；

（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，

作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN

与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；

若不存在，说明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）

将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，

（2）存在：

如果△AMN与△ACD相似，则或

设M（0<m<6）

1） 假设点M在x轴下方的抛物线上，如图1所示：

当时，，

即∴∴

如图2验证一下：当时，，即

∴（舍）

2）如果点M在x轴上方的抛物线上：当时，，即 ∴ ∴M

此时, ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M满足要求

当时，，即 ∴m=10（舍）

综上M₁,M₂