题目内容
如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．
（1）将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．
①求证：四边形C1B1AB为梯形.
②若∠A=45°, ∠ABC=30°, 求∠B1C1C的度数
（2）若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AC＝3，B1C1＝6，设A1B＝x，C1F＝y，写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（1）①证明见解析，②60°. （2）相等，理由见解析；（3）
.
【解析】
试题分析：（1）①根据全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由△ABC≌△A1B1C1可得B1C∥C1A和BC1≠B1A，从而得证. ②由角的等量转换可由
求解.
（2）由△C1BC∽△A1BA可得结论.
（3）由△BC1F∽△B A1C1可得结论.
（1）①如图，依题意知：△ABC≌△A1B1C1，∴∠A＝∠2，BB1＝BA，BC1＝CA，∠3＝∠4.
∵BB1＝BA，∴∠1＝∠A. ∴∠1＝∠2. ∴B1C∥C1A.
∵BC1＝CA，∴BC1≠B1A.
∴四边形C1B1AB为梯形.
②∵∠A=45°, ∠1＝∠A，∠1＝∠2, ∴∠2＝45°.
∵∠3＝∠4, ∠3=30°, ∴∠4=30°.
∵BC1∥AC, BC1＝AC，∴CA BC1是平行四边形. ∴∠6＝∠A＝45°.
∴
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（2）结论是：∠A1C1C＝∠A1BC，理由如下：
如图，易证：△C1BC∽△A1BA，
∴∠3＝∠A.
∵∠A＝∠4，∴∠3＝∠4.
又∠C1FA1＝∠CFB，∴∠A1C1C＝∠A1BC.
（3）∵BC=B1C1，∴∠3＝∠5. ∴∠4＝∠5.
又∵∠2＝∠2，∴△BC1F∽△B A1C1.∴
.
∵A1C1＝AC＝3，BC1＝B1C1＝6， A1B＝x，C1F＝y，∴
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∴y与x的函数关系式为
.
考点：1.全等三角形的判定和性质；2.等腰三角形的判定和性质；3. 梯形的判定；4. 平行四边形的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质；6.三角形内角和定理；7.由实际问题列函数关系式.
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