Question

18．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E、F．
（1）如图（1），过A的直线与斜边BC不相交时，求证：①△ABE≌△CAF； ②EF=BE+CF    
（2）如图（2），过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，试求EF的长．

Answer 1

分析 （1）①由条件可求得∠EBA=FAC，利用AAS可证明△ABE≌△CAF；②利用全等三角形的性质可得EA=FC，EB=FA，利用线段的和差可证得结论；
（2）同（1）可证明△ABE≌△CAF，可证得EF=FA-EA，代入可求得EF的长．

解答 （1）证明：
①∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠FAC=90°，
∴∠EBA=∠FAC，
在△AEB与△CFA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFA}\\{∠EBA=∠FAC}\\{AB=CA}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAF（AAS），
②∵△ABE≌△CAF，
∴EA=FC，EB=FA，
∴EF=AF+AE
=BE+CF；
（2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF
∴∠AEB=∠CFA=90°
∴∠EAB+∠EBA=90°
∵∠BAC=90°
∴∠EAB+∠FAC=90°
∴∠EBA=∠FAC，
在△AEB与△CFA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFA}\\{∠EBA=∠FAC}\\{AB=CA}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴EA=FC，EB=FA，
∴EF=FA-EA=EB-FC=10-3=7．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．