Question

14．如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE相交于点P，延长AF交DC延长线于点G
（1）求证：AF⊥DE；
（2）若PC=4，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△DAE与△ABF全等，再利用角互余证明垂直即可；
（2）根据AAS证明△CGF与△ABF全等，再利用正方形的面积解答即可．

解答 证明：（1）∵正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，
∴AD=AB，AE=BF，∠DAE=∠ABF=90°，
在△DAE与△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAE=∠ABF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAP=90°，
∴∠ADE+∠DAP=90°，
∴AF⊥DE；
（2））∵正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，
∴CF=BF，∠ABF=∠GCF=90°，
在△GCF与△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠GCF}\\{∠AFB=∠GCF}\\{BF=CF}\end{array}\right.$，
∴△GCF≌△ABF（AAS），
∴AB=CG，
∵正方形ABCD中，AB=CG=DC，
∴PC为RT△DPG的中线，
∴PC=CG=DC=4，
∴${S}_{正方形ABCD}=C{D}^{2}=16$

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△DAE与△ABF全等．