Question

如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点，过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.

（1）①填空：如果BP=,则BG=       ;
②用x的代数式表示线段DG的长,并直接写出自变量x的取值范围;
（2）记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式。
（3）当以P、E、F为顶点的三角形与△EDG相似时，请求出BP的长。

Answer 1

（1）BG=；ＤＧ＝2x－1、 （2）S=（3）

试题分析：（1）①在边长为2的等边△ABC中，所以；作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G，，在三角形BPG中，由三角形内角和定理知，因为BP=，所以BG= 

②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ为等边三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x.
又∵ＢＧ＝2x，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x－1，∴０＜2x－1≤１，∴. 
（2）S=DE×DF=
= 
（3）①如图１，若∠ＰＦＥ＝∠EDG=90，∵∠EGD =∠FPE ∴∽△ＥＤＧ，∴∠EFD=∠EGD=30 ∴EF=EG 
∵AD⊥BC   ∴ＤＦ＝ＤＧ   即解得：． 
②如图２，若∠ＰＥＦ＝∠EDG=90时，∵∠EGD =∠FPE ∴∽△DEG 
∵∠FED=30

∴ＤＦ＝ＥＦ＝ＢＰ，
即．解得： 
点评：本题考查直角三角形，等边三角形，相似三角形，解答本题需要掌握直角三角形，等边三角形的性质，熟悉相似三角形的证明方法，会证明两个三角形相似