Question

3．小莉要为自己家朝南的窗户安装一个遮阳蓬，AB表示窗户，高度为2m，BCD表示直角遮阳蓬，她选择的支架BC的高度为0.5m．
（1）如图甲，当太阳光与地平面的最小夹角为30°时，要求设计的遮阳蓬能使此时温暖的阳光射入室内，求遮阳蓬CD长度的范围；
（2）如图乙，当太阳光与地平面的夹角为60°时，天气就非常炎热，要求设计的遮阳蓬能使此时炎热的阳光正好全部被阻挡在窗户外，求遮阳蓬CD的长度．

Answer 1

分析 （1）要让温暖的阳光射入室内，则当D点的影子在B点时，CD的长度最长，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出此时CD的长，从而得到遮阳蓬CD长度的范围；
（2）要让炎热的阳光正好全部被阻挡在窗户外，则点D点的影子在A点，然后利用含30度的直角三角形三边的关系可求出CD的长．

解答 解：（1）当D点的影子在B点时，CD的长度最长，如图甲，此时∠D=30°，CD=$\sqrt{3}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
所以遮阳蓬CD长度的范围为0≤CD≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$m；
（2）当炎热的阳光正好全部被阻挡在窗户外时，点D点的影子在A点，如图乙，此时∠CAD=30°，CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2+$\frac{1}{2}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$（m），
即遮阳蓬CD的长度为$\frac{5\sqrt{3}}{6}$m．

点评 本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．