Question

8．已知二次函数y=x²-ax-2a²（a为常数，且a≠0）．
（1）证明该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；
（2）若该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，-2），试求该函数图象向左平移2个单位长度后所对应的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先证明△＞0，然后再证明x₁x₂＜0即可；
（2）令x=0求得a的值，从而得到函数的解析式，然后根据平移的和坐标变化的规律得到函数关系式即可．

解答 解：（1）△=（-a）²-4×1×（-2a²）=9a²，
∵a≠0，
∴△=9a²＞0．
∴二次函数与x轴有两个交点．
∵x₁x₂=$\frac{-2{a}^{2}}{1}$=-2a²＜0，
∴x₁与x₂异号．
∴该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点．
（2）将x=0代入得；-2a²=-2．
解得'a=1或a=-1．
当a=1时，函数解析式为y=x²-x-2，
平移后的解析式为y=（x+2）²-（x+2）-2=x²+3x
当a=-1时，函数解析式为y=x²+x-2，
平移后的解析式为y=（x+2）²+（x+2）-2=x²+5x+4．
综上所述，平移后抛物线的解析式为y=x²+3x或y=x²+5x+4．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，将二次函数的图象与x轴交点转化为一元二次方程的解得问题是解题的关键．