Question

5．在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD和BC的中点，延长BA和CD分别交射线NM于点E和点F，若tan∠F=$\frac{3}{4}$，FC=FN，EN=$\frac{3}{2}$，则EF=1．

Answer 1

分析 连接BD，点K为BD的中点；连接KM、KN；延长MN至G点，使EG=EB，连接BG，根据三角形中位线定理可得KM∥AB，AB=2KM、KN∥CD，CD=2KN，再证明△EBG和△FCN均为等腰三角形，△EBG≌△FCN可得EG=FN，从而可得EF=NG，过B点作GN的垂线BH交GN于H点．由tan∠F=$\frac{3}{4}$，设BH=3a，进而可得EH=4a、BE=5a，再用含a的代数式表示出EN，再由EN=$\frac{3}{2}$，可得a的值，进而可得答案．

解答 解：连接BD，点K为BD的中点；连接KM、KN；延长MN至G点，使EG=EB，连接BG．
∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴KM∥AB，AB=2KM、KN∥CD，CD=2KN．
∵AB=CD，
∴KM=KN，
∴△KMN为等腰三角形，
∴∠KMN=∠KNM，
∵KM∥AB 
∴∠BEG=∠KMN，
∵KN∥CD，
∴∠F=∠KNM
∴∠F=∠KNM=∠KMN=∠BEG，
∵FC=FN、EB=EG，
∴△EBG和△FCN均为等腰三角形，且△EBG∽△FCN．
∴∠G=∠C=∠FNC，
又∵∠BNG=∠FNC，
∴∠G=∠BNG，
∴△BGN为等腰三角形，
∴BN=BG，∠EBG=∠G，
∴BG=CN，∠EBG=∠FNC，
在△EBG和△FNC中$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠C}\\{BG=CN}\\{∠FNC=∠EBG}\end{array}\right.$，
∴△EBG≌△FCN（ASA），
∴EG=FN，
∴EF=NG，
过B点作GN的垂线BH交GN于H点．
由△BGN为等腰△可知，HN=HG，
∵tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴设BH=3a．
∴tan∠BEG=tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴EH=4a、BE=5a，
∴HG=HN=BE-EH=a，
∵EN=HE-HN=4a-a=3a，
∵EN=$\frac{3}{2}$，所以3a=$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，EF=NG=2a=1，
故答案为：1．

点评 此题主要考查了三角形中位线定理，以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是正确作出辅助线，证明出△EBG≌△FCN．