Question

20．如图1．在菱形ABCD中，AB=2$\sqrt{5}$，tan∠ABC=2，∠BCD=α，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转α度，得到对应线段CF，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q．
（1）求证：△ECF∽△BCD；
（2）当t为何值时，△ECF≌△BCD？
（3）当t为何值时，△EPQ是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根据对应边成比例、夹角相等的两个三角形相似证明；
（2）根据全等三角形的性质、余弦的概念计算；
（3）分∠EQD=90°、∠EPQ=90°两种情况，根据正切的概念、菱形的性质解答．

解答 （1）证明：菱形ABCD中，BC=CD，
由旋转的性质可知，CE=CF，
∴$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CE}{CB}$，
又∵∠FCE=∠DCB=α，
∴△FCE∽△DCB；

（2）由（1）知，△FCE∽△DCB，
∴当CE=CB=CD时，△FCE≌△DCB；
①E、D重合，此时t=0；
②如图，过点C作CM⊥AD，
当EM=MD时，EC=CD，
Rt△CMD中，MD=CDcos∠CDA=2$\sqrt{5}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=2，
∴t=ED=2MD=4，
∴当t=0或4时，△FCE≌△DCB；

（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°．
①当∠EQD=90°时，
∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，
∴∠CBD=∠CEF，
∵∠BPC=∠EPQ，
∴∠BCP=∠EQP=90°．
在Rt△CDE中，∠CED=90°，
∵AB=CD=2$\sqrt{5}$，tan∠ABC=tan∠ADC=2，
∴DE=2，
∴t=2秒；
②当∠EPQ=90°时，
∵菱形ABCD对角线AC⊥BD，
∴EC和AC重合．
∴DE=2$\sqrt{5}$，
∴t=2$\sqrt{5}$秒；
∴当t=2或者2$\sqrt{5}$时，△APQ为直角三角形．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正切的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．