Question

20．平面直角坐标系中有函数y₁、y₂、y₃，y₁=ax²+bx+c（a≠0），y₂=-x²+2x，y₃=kx+b（k≠0），y₁的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位后与y₂的图象重合，y₃经过y₁与y轴的交点以及y₂的顶点．
（1）求y₁和y₃的表达式；
（2）当x≥0时，试比较y₂与y₃的大小；
（3）当x＜m时，y₁，y₂，y₃均随着x的增大而增大，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据y₁、y₂图象间的关系结合y₂的函数表达式，即可得出y₁的表达式，进而可找出y₁与y轴的交点和y₂的顶点，根据点的坐标利用待定系数法即可求出y₁的表达式；
（2）画出y₂与y₃的函数图象，观察图象，即可得出结论；
（3）根据y₁、y₂、y₃的表达式，找出它们的单增区间，由此即可得出实数m的最大值．

解答 解：（1）∵y₁向右平移2个单位，向上平移1个单位得到y₂，
∴y₂向左平移2个单位，向下平移1个单位得到y₁，
∵y₂=-x²+2x，
∴y₁=-（x+2）²+2（x+2）-1，
∴y₁的表达式为y₁=-x²-2x-1，
∴y₁与y轴的交点为（0，-1）．
∵y₂=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴y₂的顶点坐标为（1，1）．
∵y₃经过（0，-1）、（1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴y₃的表达式为y₃=2x-1．

（2）依照题意，画出函数y₂、y₃的图象，如图所示．
观察函数图象，可得：
当0≤x＜1时，y₂＞y₃；
当x=1时，y₂=y₃；
当x＞1时，y₂＜y₃．

（3）∵y₁=-x²-2x-1=-（x+1）²，y₂=-（x-1）²+1，y₃=2x-1，
∴y₁在x≤-1时随x的增大而增大，y₂在x≤1时随x的增大而增大，y₃一直都随x的增大而增大，
∴m≤-1时，y₁，y₂，y₃均随着x的增大而增大，
∴m的最大值为-1．

点评 本题考查了二次函数与不等式、待定系数法求一次函数解析式、二次（一次）函数图象以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用平移找出y₁的表达式；（2）画出函数图象，利用数形结合解决问题；（3）找出三个函数的单增区间．