Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．

（1）如图，直线下方抛物线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，当最大时，点为线段一点（不与点重合），当的值最小时，求点的坐标；

（2）将沿直线翻折得，再将绕着点顺时针旋转得，在旋转过程中直线与直线相交于点，与轴相交于点，当是等腰三角形时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的长为或3或．

【解析】

（1）首先求出点A、B、C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设过点且平行于的直线解析式为．求出与的交点坐标，

再将沿轴翻折交轴于点，作于点，于点．求出，推出当共线时，的值最小，即为的值，

由直线和直线即可求出点E的坐标；

（2）分三种情况讨论分析，即当时，作于点；当时，点与重合；当时，．

解：（1）令，即，

解得，，

，．

令，得，

．

设直线的解析式为，

解得

直线．

设过点且平行于的直线解析式为．

当与只有一个交点时，的值最大，由，

得，此方程有两个相等的实数根，

，

此时，

．

如图1，将沿轴翻折交轴于点S，作于点，于点．

，

，

，

，

，

，

当共线时，的值最小，即为的值

，，

直线．

，

设直线．

，

，

，

直线．

由和，

解得

．

（2）①如图2，当时，作于点．

，，

，，，

．

设，则．

，

，解得，

．

②如图3，当时，点与重合，此时，．

③如图4，当时，，

．，

解可得．

综上所述当是等腰三角形时，的长为或3或．