Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，圆的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设BO=x，△AOC的面积为y。
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围。
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆，求当圆O与圆A 相切时，△AOC的面积。

Answer 1

解：（1）过点A作AD⊥BC于点D
∵∠BAC=90°  AB=AB=2    ∴BC= 4  AD=BC=2
∴S_△AOC=OC×AD=×2×(4-x)= 4-x 
即y= -x+4(0<x<4)
（2）当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意
当点O与点D不重合时，在Rt△AOD中，
AO²=AD²+OD²= 4+(2-x)²=x²-4x+8
∵⊙O₁的半径是1，⊙O₂的半径是x
∴①当⊙A与⊙O外切时
(x+1)²=x²-4x+8  解得x= 
此时，△AOC的面积是y= 4-=
②当⊙A与⊙O内切时（x+1）²=x²-4x+8  解得x=
此时，△AOC的面积是y= 4-=
∴当⊙A与⊙O相切时，△AOC的面积为或。