Question

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点，点P是BC边上一点．
（1）当BP=2时．求证：△BEP∽△CPD；
（2）若BP=5，过点P作射线PF，交CD所在的直线于点F，使得△BEP与△CPF相似．求此时CF的长度．

Answer 1

分析：（1）根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
（2）若要△BEP与△CPF相似，则只需∠BPE=∠CPF或∠BPE=∠CFP即可，那么分两种情况进行考虑．

解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．（1分）
∵BE=2，BP=2，CP=4，CD=4，
∴

EB

CP

=

BP

CD

，（3分）
∴△BEP∽△CPD．（4分）

（2）解：由已知，BP=5，BE=2，CP=1，（5分）
由（1）∠B=∠C，
若要△BEP与△CPF相似，
则只需∠BPE=∠CPF或∠BPE=∠CFP即可．（7分）
①当∠BPE=∠CPF时（点F落在图中F₁处），△BPE∽△CPF
此时，

BE

CF

=

BP

CP

，可得CF=

2

5

（9分）
②当∠BPE=∠CFP时（点F落在图中F₂处），△BPE∽△CFP
此时，

BE

CP

=

BP

CF

，可得CF=

5

2

（11分）
∴当△BEP与△CPF相似时，CF的长度为

2

5

或

5

2

．（12分）

点评：主要考查对相似三角形的判定的理解及运用，难易程度适中．