Question

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当S△DMF=

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4

S△BEP时，求BP的长．

Answer 1

分析：（1）欲证△BEP∽△CPD，可由梯形ABCD中AB=DC，得出∠B=∠C，根据相似三角形的判断两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，证明两组对应边的比相等即可；
（2）①求y关于x的函数解析式，通过证明△BEP∽△CPF，得出比例关系即可；
②求BP的长，分为两种情况：当点F在线段CD的延长线上时，证明△BEP∽△DMF，根据S△DMF=

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4

S△BEP，得到相似比，结合y=-

1

2

x2+3x-4（2＜x＜4）求解即可，当点F在线段CD上时，同前，求得当S△DMF=

9

4

S△BEP时，BP的长为1．

解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．（1分）
BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．
∴

EB

CP

=

BP

CD

．
∴△BEP∽△CPD．（2分）

（2）解：①∵∠B=∠C=∠EPF
∴180-∠B=180-∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF
∴∠BEP=∠FPC，（1分）
∴△BEP∽△CPF，
∴

EB

CP

=

BP

CF

．（1分）
∴

2

6-x

=

x

y+4

．（1分
∴y=-

1

2

x2+3x-4（2＜x＜4）．（2分）
②当点F在线段CD的延长线上时，
∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，
∴△BEP∽△DMF．（1分）
∵S△DMF=

9

4

S△BEP，
∴

DF

BP

=

3

2

=

y

x

．（1分）
∵y=-

1

2

x2+3x-4，
∴x²-3x+8=0，△＜0．
∴此方程无实数根．
故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使S△DMF=

9

4

S△BEP；（1分）
当点F在线段CD上时，同理△BEP∽△DMF，
∵S△DMF=

9

4

S△BEP，
∴

DF

BP

=

3

2

=

y

x

．
∵△BEP∽△CPF，
∴

EB

CP

=

BP

CF

．
∴

2

6-x

=

x

4-y

．（1分）
∴y=

1

2

x2-3x+4．
∴x²-9x+8=0，解得x₁=1，x₂=8．（1分）
由于x₂=8不合题意舍去．
∴x=1，即BP=1．（1分）
∴当S△DMF=

9

4

S△BEP时，BP的长为1．

点评：本题数形结合，考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，及二次函数的综合运用．