Question

如图，在矩形ABCD中，AB=10，CB=5，P，O分别是线段AC，AB上的动点，PO+PB的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,矩形的性质

专题：

分析：作B关于AC的对称点B′，连结AB′，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距离BH′．

解答：解：作B关于AC的对称点B′，作B′O⊥OB于O，交AC于P．
连结AB′，则O点关于AC的对称点H′在AB′上，
∴∠AHB=∠AHB′=90°，BH=B′H，
∴AB′=AB，
∴∠AB′H=∠ABH．
这时，B到P到O的最小值等于B→P→H′的最小值，
等于B到AB′的距离BH′，
连结AB′和DC的交点E，
则S_△ABE=

1

2

×10×5=25，
由对称知识，∠EAC=∠BAC=∠ECA，
所以EA=EC，令EA=x，则EC=x，ED=20-x，
在Rt△ADE中，
∵EA²=ED²+AD²，即x²=（10-x）²+5²，
∴x=

25

4

，
∵S_△ABE=

1

2

EA•BH′，
∴BH′=

2S△ABE

EA

=

25×2

25 4

=8．
在△BB′H′和△B′BQ中，

∠AB′H=∠ABH ∠BH′B′=∠B′QB BB′=B′B

，
∴△BB′H′≌△B′BQ（AAS），
∴BH′=B′Q=8．
故答案为：8．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，考查轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答此题时作出B点关于直线AC对称的点B′是解答此题的关键．