Question

3．如图，矩形ABCD的边长AB=2，BC=2+$\sqrt{3}$，正三角形EFG的边长是2．
（1）如图1，当EF与AB重合时，求DG的长；
（2）把正三角形EFG绕点F顺时针方向旋转30度，点G落在BC上，如图2，求此时DE²的值；
（3）在图2中，把正三角形EFG绕点G顺时针方向旋转90度，点E落在DC上，请画出此时的△EFG，并求出在此旋转过程中线段DE的最小值．

Answer 1

分析 （1）过点G作GH⊥AD于点H，根据△EFG为正三角形，∠BAD=90°，得到∠HEG=30°，所以HG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}×2$=1，利用勾股定理求得AH=$\sqrt{A{G}^{2}-H{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，从而得到DH=AD-AH=2$+\sqrt{3}-\sqrt{3}$=2，在Rt△DGH中，利用勾股定理求出DG即可．
（2）把正三角形EFG绕点F顺时针方向旋转30度，点G落在BC上；过点E作EH⊥CD于点H，过点E作EM⊥BC于点M，根据△EFG为正三角形，EM⊥BC，得到BM=$\frac{1}{2}$BG=1，利用勾股定理求得EM=$\sqrt{B{E}^{2}-B{M}^{2}}=\sqrt{3}$，CM=2+$\sqrt{3}$-1=1$+\sqrt{3}$，根据四边形ENCH为矩形，所以CH=EM=$\sqrt{3}$，EH=CM=1$+\sqrt{3}$，求出DH=CD-CH=2-$\sqrt{3}$=2-$\sqrt{3}$，在Rt△DHE中，利用勾股定理即可解答；
（3）把正三角形EFG绕点G顺时针方向旋转90度，点E落在DC上；在此旋转过程中，当点D，E，G三点在一条直线上时，线段DE最小，在Rt△CDG中，利用勾股定理得出DG=$\sqrt{C{G}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{7}$，因为GE=2，所以DE=DG-GE=$\sqrt{7}$-2．

解答 解：（1）如图1，过点G作GH⊥AD于点H，

∵△EFG为正三角形，
∴∠FEG=60°，
∵∠BAD=90°，
∴∠HEG=30°，
∴HG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}×2$=1，
∴AH=$\sqrt{A{G}^{2}-H{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DH=AD-AH=2$+\sqrt{3}-\sqrt{3}$=2，
在Rt△DGH中，DG=$\sqrt{H{G}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$．
（2）如图2，过点E作EH⊥CD于点H，过点E作EM⊥BC于点M，

∵△EFG为正三角形，
∴∠FEG=60°，
∵∠ABD=90°，
∴∠ABE=30°，
即把正三角形EFG绕点F顺时针方向旋转30度，点G落在BC上；
∵△EFG为正三角形，EM⊥BC，
∴BM=$\frac{1}{2}$BG=1，
∴EM=$\sqrt{B{E}^{2}-B{M}^{2}}=\sqrt{3}$，CM=2+$\sqrt{3}$-1=1$+\sqrt{3}$，
∵EH⊥CD，EM⊥BC，
∴四边形ENCH为矩形，
∴CH=EM=$\sqrt{3}$，EH=CM=1$+\sqrt{3}$，
∴DH=CD-CH=2-$\sqrt{3}$=2-$\sqrt{3}$，
在Rt△DHE中，DE²=EH²+DH²=$（1+\sqrt{3}）^{2}+（2-\sqrt{3}）^{2}=11-2\sqrt{3}$．
故答案为：30．
（3）如图4，

∵BC=2+$\sqrt{3}$，BG=2，
∴CG=BC-BG=$\sqrt{3}$，
在Rt△GCE中，CE=$\sqrt{G{E}^{2}-C{G}^{2}}$=1，
∵GE=2，
∴∠EGC=30°，
∵∠FEG=60°，
∴∠FGC=∠EGC+∠FEG=90°，
∴∠BGF=90°，
即把正三角形EFG绕点G顺时针方向旋转90度，点E落在DC上；
在此旋转过程中，当点D，E，G三点在一条直线上时，线段DE最小，如图5，

在Rt△CDG中，DG=$\sqrt{C{G}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{7}$，
∵GE=2，
∴DE=DG-GE=$\sqrt{7}$-2．
故答案为：90．

点评 本题考查了等边三角形的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理求相关线段的长度．