Question

（2012•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以

5

cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为

（t-2）

cm（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AB边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．
（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）点P在AD段的运动时间为2s，则DP的长度为（t-2）cm；
（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如图（2）所示．利用运动线段之间的数量关系求出时间t的值；
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，分别用时间t表示各相关运动线段的长度，如图（3）a利用“S=S_梯形AQPD-S_△AMF=

1

2

（PD+AQ）•PQ-

1

2

AM•FM”求出面积S的表达式；如图（3）b利用“S=S_梯形AQPG-S_△AMF=

1

2

（PG+AC）•PC-

1

2

AM•FM”求出面积S的表达式；
（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H、点P的运动过程：
当4＜t＜6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a所示．此时点H将两次落在线段CD上；
当6≤t≤8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示．此时MN与CD的交点始终是线段MN的中点，即点H．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
D为AB中点，∴AD=2

5

，
∴点P在AD段的运动时间为

2 5

5

=2s．
当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t-2）s，
∵DE段运动速度为1cm/s，∴DP=（t-2）cm．

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如下图所示：

①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．
由三角形中位线定理可知，DM=

1

2

BC=2，∴DP=DM=2．
由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；
②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．
∵DE=

1

2

AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，
∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．
∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=

20

3

．
所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=

20

3

．

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：

①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．
∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=

1

2

AM=

1

2

t．
S=S_梯形AQPD-S_△AMF=

1

2

（DP+AQ）•PQ-

1

2

AM•FM=

1

2

[（t-2）+（2+t）]×2-

1

2

t•

1

2

t=-

1

4

t²+2t；
②当

20

3

＜t＜8时，如图（3）b所示．
PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=

1

2

AM=6-

1

2

t，PG=2PB=16-2t，
S=S_梯形AQPG-S_△AMF=

1

2

（PG+AC）•PC-

1

2

AM•FM=

1

2

[（16-2t）+8]×（t-4）-

1

2

（12-t）•（6-

1

2

t）=-

5

4

t²+22t-84．
综上所述，S与t的关系式为：S=

- 1 4 t2+2t(2＜t＜4) - 5 4 t2+22t-84( 20 3 ＜t＜8)

（4）依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示：

①当4＜t≤6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a所示．
此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为2.5×2=5cm，而MN=2，
则此阶段中，点H将有3次机会落在线段CD上：
第一次：此时点H由M→H运动时间为（t-4）s，运动距离MH=2.5（t-4）cm，∴NH=2-MH=12-2.5t；
又DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由DN=2NH得到：t-4=2（12-2.5t），解得t=

14

3

；
第二次：此时点H由N→H运动时间为t-4-

2

2.5

=（t-4.8）s，运动距离NH=2.5（t-4.8）=2.5t-12；
又DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由DN=2NH得到：t-4=2（2.5t-12），解得t=5；
②当6≤t≤8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示．
由图可知，在此阶段，始终有MH=

1

2

MC，即MN与CD的交点始终为线段MN的中点，即点H．
综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=

14

3

或t=5或6≤t≤8．

点评：本题是运动型综合题，涉及到动点型（两个动点）和动线型，运动过程复杂，难度颇大，对同学们的解题能力要求很高．读懂题意，弄清动点与动线的运动过程，是解题的要点．注意第（2）、（3）、（4）问中，分别涉及多种情况，需要进行分类讨论，避免因漏解而失分．