Question

如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC=12cm，BD=16cm．动点P在线段AB上，由B向A运动，速度为1cm/s，动点Q在线段OD上，由D向O运动，速度为1cm/s．过点Q作直线EF⊥BD交AD于E，交CD于F，连接PF，设运动时间为t（0＜t＜8）．问：

（1）何时四边形APFD为平行四边形？求出相应t的值；

（2）设四边形APFE面积为ycm²，求y与t的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40？若存在，求出相应t的值，并求出，P、E两点间的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

【考点】四边形综合题．

【专题】几何动点问题．

【分析】（1））由四边形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出．求出DF．由AP=DF．求出t．

（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S_菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，求出CG．据S_梯形APFD=（AP+DF）•CG．S_△EFD=EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；

（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S_菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．

在Rt△AOB中，AB==10．

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴．

即，

∴DF=t．

∵四边形APFD是平行四边形，

∴AP=DF．

即10﹣t=t，

解这个方程，得t=．

∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．

 

（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵S_菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，

即10•CG=×12×16，

∴CG=．

∴S_梯形APFD=（AP+DF）•CG

=（10﹣t+t）•=t+48．

∵△DFQ∽△DCO，

∴．

即=，

∴QF=t．

同理，EQ=t．

∴EF=QF+EQ=t．

∴S_△EFD=EF•QD=×t×t=t²．

∴y=（t+48）﹣t²=﹣t²+t+48．

 

（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

若S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，

则﹣t²+t+48=×96，

即5t²﹣8t﹣48=0，

解这个方程，得t₁=4，t₂=﹣（舍去）

过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

当t=4时，

∵△PBN∽△ABO，

∴=，

即=．

∴PN=，BN=．

∴EM=EQ﹣MQ=3﹣=．

PM=BD﹣BN﹣DQ=16﹣﹣4=．

在Rt△PME中，

PE==（cm）．

【点评】本题主要考查了四边形的综合知识，用到的知识点有勾股定理、菱形的性质、梯形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程得解、平行四边形的性质等性质，题目的综合性较强，对学生的综合解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．