Question

已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=          ；若∠COF=n°，则∠BOE=           ；∠BOE与∠COF的数量关系为              ．
（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？如成立请写出关系式；如不成立请说明理由．
（3）在图3中，若∠COF=65 °，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠COE是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°﹣34°=56°，
由∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE=2∠EOF=112°，
∴∠BOE=180°﹣112°=68°；
当∠COF=n°，
∴∠EOF=90°﹣n°，
∴∠AOE=2∠EOF=180°﹣2n°，
∴∠BOE=180°﹣（180°﹣2n°）=2n°，
所以有∠BOE=2∠COF．
故答案为：68°，2n°，∠BOE=2∠COF；
（2）∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立．
理由如下：设∠COF=n°，如图2，
∵∠COE是直角，
∴∠EOF=90°﹣n°，
又∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE=2∠EOF=180°﹣2n°，
∴∠BOE=180°﹣（180°﹣2n°）=2n°，
即∠BOE=2∠COF；
（3）存在．理由如下：
如图3，∵∠COF=65°，
∴∠BOE=2×65°=130°，
∠EOF=∠AOF=90°﹣65°=25°，
而2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半，
∴2∠BOD+25°=（130°﹣∠BOD），
∴∠BOD=16°．