Question

5．某家禽养殖场，用总长为110m的围栏靠墙（墙长为22m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym²．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，得到矩形AEFB面积是矩形CDEF面积的3倍，求得AD=3DE，于是得到y=x（55-$\frac{11}{8}$x）=-$\frac{11}{8}$x²+55x，自变量x的取值范围为：24≤x＜40；
（2）把y=-$\frac{11}{8}$x²+55x化为顶点式：y=-$\frac{11}{8}$（ x-20）²+550，根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，
∴矩形AEFB面积是矩形CDEF面积的3倍，
∴AD=4DE，
∵AD=x，
∴GH=$\frac{3}{4}$x，
∵围栏总长为110m，
∴2x+$\frac{3}{4}$x+2CD=110，
∴CD=55-$\frac{11}{8}$x，
∴y=x（55-$\frac{11}{8}$x）=-$\frac{11}{8}$x²+55x，
∴自变量x的取值范围为：24≤x＜40；

（2）∵y=-$\frac{11}{8}$x²+55x=-$\frac{11}{8}$（ x²-40 x）=-$\frac{11}{8}$（ x-20）²+550，
∵自变量x的取值范围为：24≤x＜40，且二次项系数为-$\frac{11}{8}$＜0，
∴当x=24时，y有最大值，最大值为528平方米．

点评 此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．