Question

16．如图1，△ABC中，AB=AC，连B，C分别作BD⊥AB，CD⊥AC，BD、CD相交于D点，P为BC上一点，过P的直线交AB于E，AC延长线于F，且满足PE=PF，连结DP．
（1）求证：DP⊥EF；
（2）如图2，若P为BC延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否成立？

Answer 1

分析 （1）连接AD，由HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD，得出BD=CD，作EK∥AC交BC于K，连接DE、DF，则∠ACB=∠EKB，∠PCF=∠PKE，∠PFC=∠PEK，由AAS证明△PCF≌△PKE，得出CF=KE，由等腰三角形的性质证出∠EKB=∠ABC，得出BE=KE=CF，由SAS证明△BDE≌△CDF，得出DE=DF，由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）连接AD，由HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD，得出BD=CD，作EK∥AC交BC的延长线于K，连接DE、DF，则∠ACB=∠EKB，∠PCF=∠PKE，∠PFC=∠PEK，由AAS证明△PCF≌△PKE，得出CF=KE，由等腰三角形的性质证出∠EKB=∠ABC，得出BE=KE=CF，由SAS证明△BDE≌△CDF，得出DE=DF，由等腰三角形的性质即可得出结论；

解答 （1）证明：连接AD，如图1所示：
∵BD⊥AB，CD⊥AC，
∴∠ABD=∠ACD=∠DCF=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴BD=CD，作EK∥AC交BC于K，连接DE、DF，
则∠ACB=∠EKB，∠PCF=∠PKE，∠PFC=∠PEK，
在△PCF和△PKE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PCF=∠PKE}&{\;}\\{∠PFC=∠PEK}&{\;}\\{PF=PE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△PKE（AAS），
∴CF=KE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠EKB=∠ABC，
∴BE=KE=CF，
在△BDE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}&{\;}\\{∠DBE=∠DCF}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，
∵PE=PF，
∴DP⊥EF；
（2）解：（1）中结论成立；理由如下：
连接AD，如图2所示：
∵BD⊥AB，CD⊥AC，
∴∠ABD=∠ACD=∠DCF=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴BD=CD，
作EK∥AC交BC的延长线于K，连接DE、DF，
则∠ACB=∠EKB，∠PCF=∠PKE，∠PFC=∠PEK，
在△PCF和△PKE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PCF=∠PKE}&{\;}\\{∠PFC=∠PEK}&{\;}\\{PF=PE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△PKE（AAS），
∴CF=KE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠EKB=∠ABC，
∴BE=KE=CF，
在△BDE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}&{\;}\\{∠DBE=∠DCF}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，
∵PE=PF，
∴DP⊥EF；

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线多次证明三角形全等才能得出结论．