Question

7．阅读下列材料：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）；
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）；
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）；
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20．读完这段材料，请你计算：
（1）1×2+2×3+…+10×11；（写出计算过程）
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）$
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）==$\frac{1}{4}n（n+1）（n+2）（n+3）$．

Answer 1

分析 （1）根据1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，可得1×2+2×3+…+10×11=$\frac{1}{3}×10×11×12$，据此解答即可；
（2）根据1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5，1×2+2×3+3×4+4×5=$\frac{1}{3}$×4×5×6，…，可得1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）$，据此解答即可；
（3）首先判断出1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$×（1×2×3×4-0×1×2×3）+$\frac{1}{4}$×（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$×（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$×[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，然后根据乘法分配律、加法交换律和结合律，求出算式的值是多少即可．

解答 解：（1）因为1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，
所以1×2+2×3+…+10×11
=$\frac{1}{3}×10×11×12$
=440

（2）因为1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5，
1×2+2×3+3×4+4×5=$\frac{1}{3}$×4×5×6，
…，
所以1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）$

（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
=$\frac{1}{4}$×（1×2×3×4-0×1×2×3）+$\frac{1}{4}$×（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$×（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$×[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
=$\frac{1}{4}$×[1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+3×4×5×6-2×3×4×5+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
=$\frac{1}{4}n（n+1）（n+2）（n+3）$
故答案为：$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）$；$\frac{1}{4}n（n+1）（n+2）（n+3）$．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）$．