Question

如图，为⊙O的直径，为弦，且，垂足为．

（1）如果⊙O的半径为4，，求的度数；

（2）若点为 的中点，连结，．求证：平分；

（3）在（1）的条件下，圆周上到直线距离为3的点有多少个？并说明理由．

 

Answer 1

（1）°, （2）见解析 （3）有2个点

【解析】

试题分析：（1）根据垂径定理求出CD=2CH，然后求出∠COH，根据圆周角定理求出；（2）求出∠ACO=∠BCD，∠ACE=∠BCE，相减即可．（3）根据BC=4和半径是4，即可得出答案．

试题解析：（1）【解析】
∵AB⊥CD，∴CD=2CH=，∴CH=,在Rt△OCH中，OC=4, ∴∠COH=60°，∵∠BAC=∠COH , ∴∠BAC=30°;（ 2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°=∠CHB，∴∠A+∠B=∠B+∠BCH=90°，∴∠A=∠BCD=∠ACO，∵E为弧ADB的中点，∴∠ACE=∠BCE，∴∠ACE-∠ACO=∠BCE-∠BCD，∴∠OCE=∠DCE， 即CE平分∠OCD．（3）【解析】
在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有2个，理由是：在BC上截取BM=1，过M作AC的平行线交圆于N、Q，则此时两点符合题意，除去这两点以外，再没有符合题意的点了，即在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有2个．

考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.解直角三角形．